Tổ hợp và chỉnh hợp
Tổ hợp C(n,k) đếm số cách chọn k phần tử từ n phần tử khi thứ tự không quan trọng: chọn 6 số từ 45 số có 8.145.060 cách. Chỉnh hợp A(n,k) đếm khi thứ tự quan trọng: xếp 3 trong 10 vận động viên vào nhất, nhì, ba có 720 cách. Công cụ dùng số nguyên lớn nên tính chính xác tới hàng trăm chữ số, không bị làm tròn.
Phân phối nhị thức
Khi lặp lại n lần một phép thử độc lập với xác suất thành công p, số lần thành công X tuân theo phân phối nhị thức. Tab này cho P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) cùng kỳ vọng n·p và độ lệch chuẩn, kèm biểu đồ phân phối. Ví dụ: tung 10 đồng xu, xác suất được đúng 5 mặt sấp là 24,6 %; được ít nhất 8 mặt sấp chỉ 5,5 %. Ứng dụng: kiểm tra tỷ lệ lỗi sản phẩm, tỷ lệ chuyển đổi A/B test, số ca dương tính trong mẫu.
Tổng điểm xúc xắc
Phân phối tổng của nhiều viên xúc xắc được tính bằng tích chập chính xác, không mô phỏng. Bạn thấy ngay xác suất của một tổng cụ thể, của "tổng ≥ t" (hữu ích khi cần vượt ngưỡng trong D&D) và tổng hay gặp nhất. Với 2d6, tổng 7 chiếm 16,7 %; với 3d6, tổng 10 và 11 mỗi tổng 12,5 %.
Xác suất trúng xổ số
Các giải xổ số tự chọn tại Việt Nam dùng kiểu "rút k bóng từ n bóng, không hoàn lại". Xác suất khớp đúng m số tuân theo phân phối siêu bội. Với Mega 6/45, khớp cả 6 số (giải Jackpot) là 1 trên 8.145.060; khớp 3 số (giải ba) khoảng 1 trên 45. Với Power 6/55, Jackpot 1 là 1 trên 28.989.675. Những con số này không đổi dù bạn chọn số "đẹp" hay số ngẫu nhiên, và không phụ thuộc kết quả các kỳ trước. Trang này không khuyến khích mua vé số; mục đích là giúp bạn hiểu đúng tỷ lệ.
Bài toán ngày sinh
Trong một phòng 23 người, xác suất có ít nhất hai người cùng ngày sinh đã vượt 50 %, và với 57 người lên tới 99 %. Kết quả trái trực giác vì ta hay nghĩ về việc "ai đó trùng với tôi" (xác suất thấp) thay vì "bất kỳ cặp nào trùng nhau", mà 23 người có tới 253 cặp. Tab này cho P(trùng), P(không trùng), số cặp và số người cần có để P vượt 50 %. Giả định 365 ngày đều nhau, bỏ qua năm nhuận.